4 - Circunferencias tangentes a un ángulo y que contienen a un punto

Identificación de las circunferencias que, siendo tangentes a las rectas que componen un ángulo, contengan a un punto no incluído en ellas.

Para empezar, el centro de cualquier circunferencia tangente a nuestro ángulo estará siempre a la misma distancia de una recta de éste que de la otra. Por lo tanto, sabemos que el centro que buscamos se encontrará en la bisectriz del ángulo.

Según lo anterior, las circunferencias serán simétricas a la bisectriz del ángulo, y por lo tanto, si contienen un determinado punto, también contendrán al simétrico respecto a dicha bisectriz.

Visualizando la solución, vemos que el ejercicio se puede resolver utilizando la potencia del punto, tal como se hizo en un ejercicio anterior para hallar la circunferencia tangente a una recta y que contien a dos puntos exteriores a la misma.

Pasos a seguir

1. El primer paso es, segun lo visto, trazar la bisectriz de nuestro ángulo.
2. A continuación, hallaremos el punto simétrico a nuestro punto respecto a la bisectriz recién trazada.
3. Posteriormente, dibujaremos una recta que contenga a nuestros dos puntos hasta que corte con una de las rectas de nuestro ángulo. Solo se necesita utilizar una de ellas, y cualquiera será perfectamente válida.
4. A partir de aquí, el prodedimiento para hallar los puntos de tangencia con nuestra recta es muy similar al que se empleó en el citado ejercicio anterior, haciendo uso de la potencia del punto y la media proporcional.
5. Una vez obtenidos los puntos de tangencia, trazaremos desde ellos rectas perpendiculares a la utilizada de nuestro ángulo hasta que corten con la bisectriz. En esos puntos se encontrarán los centros de la solución que buscamos.
6. Sería interesante, por último, señalar los puntos de tangencia con la otra recta del ángulo. Para ello, trazaremos desde nuestros centros las perpendiculares a esta otra recta. Ya tenemos todo lo necesario para dibujar las cincunferencias.

En el caso alternativo de que el punto proporcionado se halle incluído en una de las rectas del ángulo, la resolución del ejercicio será mucho más simple, pues ya tendremos el punto de tangencia que antes se ha tenido que hallar. En este caso solo habrá una solución posible.

Explicación gráfica de los pasos en un vídeo de Youtube

Explicación gráfica de los pasos en un vídeo interactivo